我从内蒙古大学（以下简称内大）数学学院退休已经6年多了，回顾自己所走过的人生道路，有许多经历是应该记载下来的。本文只对自己在内大工作期间，从教学上做一简单回顾，并谈一些自己的感受和想法。

一、重回母校

我1965年从内大数学系毕业，1976年底调回系里任教。之前曾在包头市郊区呆了6年半，主要是在一所公社中学教书，调回呼市之后，又在一个市区教育局工作了5年，荒废学业达11年半之久。1977年初，国家百废待兴，学校也面临着全国统一高考招生，缺教师。当时的系领导托人问我愿不愿回母校当老师？我当时真是犹豫再三，毕业十多年了，所学的知识基本上全丢了，在这种状态下回母校，在内蒙古的最高学府里当一名教师，能干得了吗？那是做梦也不敢想的事情。我的导师王建午先生给我讲：“你现在不回来，再过一年半载，想回来怕也不可能了，现在回正是时候，系里许多老师在‘文革’这些年来，学业同样荒废得厉害……于是我硬着头皮开始参加系里举办的一个学术讨论班，当时主要念Dieudonne的《现代分析基础》，结合念书报告实数理论。参加讨论班的有王建午、曹之江、刘景麟、杜德生和倪星棠等几位先生，分配给我的任务是报告戴德金的实数构造理论。刘景麟先生报告的是Cantor实数，倪星棠的报告是证明π和e是无理数。我回到家里，从毕业以来一直未动过的行李箱底翻出了菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》（共三卷八分册）和乌瓦连科夫的《分析引论》，为了准备这个报告，我用了好几天时间，我还一直听完了陈杰先生关于广义逆矩阵的学术讲座。对我来说，这一段讨论班活动算是正式调回内大前在学术上的一次严格训练。

回到内大，我就开始协助曹之江先生给77级学生辅导数学分析课程。77级学生是恢复高考后的第一届学生，其中藏龙卧虎，人才济济。实事求是地讲，我当时的业务水平和班内中等水平的学生也差不了多少，就连数学分析课程包括哪些具体内容都记不清了。在这种情况下，我只能加倍努力：曹先生讲前面的章节，我除了辅导学生和批改作业外，就是废寝忘食地复习后面的内容。那时，我一进教室，立刻就有许多学生围上来争先恐后地提问题，其中有些问题是很超前的，我一时回答不了，就老老实实对学生讲我也不清楚，等我考虑好再回答。于是回到家里就翻书翻笔记，动脑筋思考，经常饭也顾不上吃，有时彻夜不眠，搞明白了，再去为学生解答。记得工作有半年之久，我每天只睡四五个小时，加之营养又差，瘦得像个干猴子一样。

我讲这一段经历的目的，是想说明我回内大时我的业务水平根本无法和现在的各位年轻教师相比，他们都是硕士、博士毕业，基本功扎实、厚积薄发，他们的前途是无可限量的。

二、三十多年任教的回顾与思考

从1977年重返母校到2011年退休，我在内大从教已经34年了。回顾这段难以忘怀的经历，感触很多。我深深感到：

1.当教师就要为人师表，要有师德，要用自己的言行举止去潜移默化地影响学生，用自己的激情去感染学生。

教师和学生，作为人是完全平等的，不能因为自己是教师，就让学生必须听你的，包括讲课在内。师生应该友爱相处，互相尊重，教师只不过比学生早出生几年，早受过几年教育而已。教师的任务就是传道授业解惑。学生过几年也可能是教师，而且可能是更出色的教师。在教学过程中，有一件事留给我的印象特别深刻，我当时就在备忘录中将它记下来了：2002级基地班有一位叫胡佩锋的学生，当课程进行到数列极限时，他的作业中出现了一个问题，他这样计算极限：

limn→∞1-1+3nn2n2=?limn→∞1-1+3nn2·11+3nn2=limn→∞1-1n2n2=e-1

limn→∞1-1n23n2-n+1=

limn→∞1-1n2·3n2-n+13n2-n+13n2-n+1

=limn→∞1-n2-13n+13n2·63n2-n+13n2-n+1

=?limn→∞1-63n2-n+13n2-n+1

=e-6

他这样做肯定是没有问题的，但我怀疑他本人并不清楚这样做的依据，于是我用红笔给其中的两个等号画了问号，并批写道：这样做有何根据？当n→∞时怎么能对数列的一部分取极限，而另一部分保持不变呢？我是想引起他的注意，让他好好思考为什么要这样做，不能想当然，似是而非。作业发下去不久，他就递给我一张纸条，上面列举了更多这种做法的例子，强调这种做法不仅正确而且有创意。他说这是利用一个无穷小和一个趋于1的量相乘，可将趋于1的量用1去代替，是一种非常简洁的方法。他还在纸上写道：“难道只许大数学家放火，不许普通学生点灯吗？”胡佩锋的这一举动非常可爱，引起我对他的极大兴趣和注意。我让他给我解释这样做题是根据数列极限的哪一条性质或学过的哪个结果得来的？他始终说不清楚，但就是坚持他正确，因为答案确实是对的。我就给他举了一个例子，我说如果按你的说法，就应该有：

limn→∞sin1n-1n1n3=limn→∞sin1n1n·1n-1n1n3=limn→∞1n-1n1n3=0.

但实际上这个极限的结果是-16，而不是0。他不吱声了，我又给他讲，他的做法为什么是对的，依据是函数的连续性及无穷小相乘除其等价无穷小可以代换，而等价无穷小可以代换是由乘积的极限等于极限的乘积这一性质推导出来的，但是在无穷小加减运算中等价无穷小就不能随便代换。我告诉他，在数学中推导或计算任何一个结果，都要有依据，不能乱来。真正的数学家是十分严谨，尊重科学的，他们也会“放火”，但绝不会乱“放火”，他们“放火”之后，就一定要论证“放火”的正确性。我说你不仅可以“点灯”，你也可以“放火”，但必须明白你这样做的正确理由。他后来心服口服，而且非常高兴。胡一直是班内一名学习很努力的学生，肯思考，成绩也很好。他后来考取了北方交通大学的硕士研究生，我觉得这个孩子将来会是很有出息的。事实上，胡佩锋从北方交大毕业后，赴美国攻读完博士，就留在美国工作了。

我想，正因为学生单纯，无社会阅历，有许多知识要学，需要教师去引导，当然，修行还要靠他们自己。就年龄而言，我和学生的关系，在20世纪80年代初之前，学生就像我的弟弟妹妹一样，而之后的学生就越来越和自己的孩子一样了。老师就要像爱护弟弟妹妹，爱护子女一样地去关爱学生，有这种心态，教学责任心自然就会增强，就会设身处地去为他们着想，也一定会努力想办法在业务上提高自己，就会认真备好每一节课，力求讲好每一节课。这就像家庭教育一样，孩子从父母那里潜移默化地接受着影响，而好的父母也总是在孩子面前保持一个好的形象，同样在学校里，教师也在潜移默化地影响着学生，包括怎样做人。因此，要学生学好，教师不仅要不断提高自己的业务能力，同时也必须要先正己，做出表率，这是一个很浅显的道理。教师认真负责，关爱学生，学生也会更尊重和关爱老师的。在我患癌症做手术期间，我教过的一些学生，不论是本科生还是研究生，就和我的亲人一样到医院陪床，看望我。直到现在，毕业多年的一些学生也经常和我在电话或微信上保持联系，每逢节假日，不少学生还要来家探望，这让我心里非常感动也非常高兴……

我在为曹先生辅导数学分析课时，学生每次交上来的作业我都要从头至尾详细批改，凡属概念不清的错误，不仅用红笔画出，还要指出问题的症结所在，因为批语多，常常是一纸作业，差不多成了一片红色。我给77级学生进行了三个学期辅导，正是在详细批改作业的过程中，不断分析学生在做题过程中出现的各种错误、毛病，学到了不少东西，有时学生也有特别好的做法，对我很有启发。总之，我越来越深刻地感受到在数学分析教学中，哪些概念是必须要强调而不能忽视的，为今后主讲数学分析课提供了宝贵的借鉴和参照，同时在这一过程中也充分体现了师生的相互促进。

我教了多遍数学分析课。每次讲课前都有一种跃跃欲讲的亢奋心态，特别是在引入重要概念和讲解重要定理之前，这种心态尤为明显，因为我又要引导学生在认知上上一个新的台阶，又要进入一片令人振奋的新的视野。就这样，将自己理解的知识传授给学生，将会引起一些学生的共鸣。我深感一个教师讲课时有没有激情，是讲课能否成功的一个很重要的因素。教师的激情能感染学生，能激发他们的求知欲望，让学生也跃跃欲试，这个讲课就一定会成功。

2.做一名称职的大学教师，就一定要不断扩展自己的知识面，一定要有科研方向，要不断总结，注意积累，要深入钻研所讲课程内容。

回内大不久，在系里的一次年终科研报告会上，陈天权先生在其总结发言中有一段话发人深省，至今难以忘怀。他说：不要以为你只要全心全意讲课，就能把课讲好，你不搞科研，永远是肤浅之辈；不要以为你数学分析课曾经学得很好，你又会讲，你就能将这门课讲好；你不老老实实念完菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，你不老老实实做完捷米多维奇的习题集，你没有认真学过甚至教过实变函数论这样的课程，很难设想你能讲好数学分析。陈先生是在强调基本功的重要性。我当时很不理解，我知道讲数学分析不容易，但有那么难吗？后来真让我主讲这门课程后，我才感受到自己知识的浅薄。

一开始上讲台，教科书上怎么写，我就依样画葫芦给学生怎么讲，不敢越雷池一步，我自觉讲得很清楚了，但学生不买账，他们学不到真知，受不到启发，有自学能力的学生甚至认为没有必要听这种课。我感到一种很大的精神压力。于是每次备课我都要琢磨，怎么讲才能将问题讲透彻，才能引起学生的听课兴趣？我开始有意识地认真读一些实变函数、泛函分析和点集拓扑等方面的专著，认真做笔记，演习题，对念书中提出的许多问题，尽量通过自己思考得以解决，同时积极参加科研讨论班，不断扩大知识面和提高思考能力。当时是王建午先生主持泛函分析讨论班，每周至少活动一次（半天），这个讨论班一直持续到现在。科研讨论班对促进教学科研起到非常大的作用，在讨论班上，大家轮流报告专著、期刊文献和个人在学术钻研中的一些想法，我感到自己从中受益匪浅。随着时间的推移，逐渐地，而且是非常自然地，我感到有一种“会当凌绝顶，一览众山小”的感觉，能以更开阔的视野去看待数学分析课了，也能用统一的更为抽象的观点去看待所讲授的一些内容了，而且更让我高兴的是，抽象思维能力提高了，反而能用比较浅显的语言给学生讲清一些过去感到难以讲清的概念和结果。当然，我确实是系统地读了菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》，也读了Fleming的《多元微积分》、卢丁的《数学分析原理》以及克莱姆鲍尔的《数学分析》中的许多章节，而在平时备课时参阅的书就更多了。我也确实是做了捷米多维奇习题集中大部分习题，尽管有的做题方法现在看来很烦琐，但我感到收获是巨大的。

我每次讲完课都要反思一下，这次课哪些地方讲得不尽如人意，症结在何处，是否证明思路表述不够清楚，背景介绍不够全面，例题举得不够恰当，也可能证明过程中忽略了学生的实际情况，逻辑推导上出现了跳跃。凡此种种我都要记下来或在讲稿上标明。讲的课多了，讲课中明显地感到自由度增加了，备课不再拘泥于课本，而在讲课过程中常会有灵感出现，会有新的想法产生，甚至比备课时冥思苦想得来的还要自然，还要好。课后将这些想法再仔细琢磨一番，对讲稿进一步补充修正。当我给本科生、研究生讲完实变函数和泛函分析这些课程后，上述这种感受就更为明显了。

尽管我讲过多次数学分析课，但每次给新生开课，我基本上都要重写讲稿，至少部分章节的讲稿要完全重写。数学分析课的大框架不变，但具体讲授内容可自己安排，什么是重点，什么是难点，心里是十分清楚的，自然要加入自己的感受，也经常从参考书上找到更好的思考题和例题等等。

3.做一名称职的大学教师，要敢于知难而上，不可故步自封。

我认为，年轻人要敢于承担新课、难课，不要抱住个高等数学一讲就是十几年。当然，接受新课势必要花大量时间和精力去认真准备，势必要增加压力，但从长远看这是非常值得的，而且要想在大学里做一名称职的教师，也必须要这样做，躲是躲不过去的。我记得1980年6、7月份，我在南京大学一年参加完加拿大数学家Thompson教授主持的Banach空间几何讨论班，回到系里不久，王建午和曹之江先生就一起找我，要我给79级学生主讲数学分析多元微积分学部分，并让我做好主讲实变函数论和泛函分析课程的思想准备。我当时感到很突然，也有点底气不足，不太敢接受。因为教过我这些课程的老师是陈杰先生、王建午先生，还有刘景麟先生等，他们都是我心目中的大师，我能讲得了这些课吗？王建午先生说：这可是一个难得的机会，错过是很可惜的，你看着办吧，让我考虑两天再决定。我因为有了在南京大学进修一年的底子，自己学过的知识不仅已经恢复，而且有了新的提高，加之我毕业后在社会上摸爬滚打了十多年，胆子也比在校念书时大了许多。于是我下决心，硬着头皮决定承担交给我的任务。事实证明，困难是有的，但完全可以克服。我给79级学生讲完数学分析，再给80级学生讲数学分析多元部分时就自如多了。接下来继续给80级学生主讲实变函数和泛函分析，用的是南京大学王声望和郑维行编写的教材，上下两册，三个学期全部讲完，学生反映还不错，这更让我充满了信心。

我总觉得，一个人，特别是年轻人，应该有意识地给自己增加一些压力，变压力为动力，这不是坏事。人，就得有压力有紧迫感，才会有改变处境的强烈意识和愿望，才能有所进步。搞应用数学的年轻人为什么就不能在基础数学上下点功夫、甚至承担本系的一门基础课呢？反过来，搞基础数学的年轻人也可以讲点应用数学或计算数学。像我们学院的刘树忠和王镁老师，讲什么课都没有问题，不论基础数学还是应用数学。总之不要让自己的知识面太狭窄了，基础应用相辅相成，知识才会更全面，能力才会更强。

当一名称职的大学教师，的确不是一件容易的事情。但有志者，事竟成。要将眼光放远一点，目标定高一点，不要为眼前的一点小收益，舍弃了自己的大目标。我认为凡能进入数学学院的年轻教师，绝大多数都是很优秀的，要趁着自己年轻，精力记忆力旺盛，又有研究生学习的基础，抓紧时间，有计划、有步骤地充实自己。暂时的清贫对他们不会造成多大损失，相反只图眼前利益，不思进取，不愿下苦功夫，让自己一生最美好的黄金时期无所作为地滑过去，最终可能要追悔莫及的。

我最后要说，每位教师都有，而且也应该有自己的讲课风格，我认为我们应该提倡有不同的讲课风格，但讲课风格是在长期的教学实践中形成的。从板书如何规划设计，书写是否整齐规范，到内容安排是否紧凑，重点是否突出，讲授是否严谨清楚，生动有趣，富有启发，任何一个环节都不能掉以轻心，都有许多讲究，这与一个人的个性、品格、素质、知识层次密切相关。回想起来，我们学院的每位教师都有值得我学习的地方，事实上，我个人直到退休时仍深感有许多地方做得还不够，对此我只能抱憾终生了。

总之，讲课是一门艺术，精益求精，好而又好是没有止境的。但是起码有一条应该做到：就是认真负责，充分准备，让大家对你的讲课放心，不必担心让学生将你轰下讲台。而能够让学生都喜欢你的讲课，这就是对教师一个比较高的要求了。

作者简介

刘德，男，汉族，1943年6月出生，中共党员，1965年毕业于内蒙古大学数学系。1990—1991年赴加拿大卡尔顿大学数理统计系访问一年，钻研Banach空间局部理论；1985年应中科院数学研究所邀请，做6个月学术访问，研究矢量测度理论；1978—1979年在南京大学参加由教育部委托该校主办并由加拿大著名数学家Thompson教授主持的Banach空间几何理论讨论班。曾任内蒙古大学数学系基础数学教研室主任、数学系副主任。退休前主持内蒙古大学“数学分析”精品课程的建设，是系里泛函分析方向带头人。先后主讲本科生主干课数学分析、实变函数、泛函分析、点集拓扑和研究生课程泛函分析、矢量测度、现代拓扑向量空间方法和Banach空间几何理论等。在国内外学术期刊发表科研论文30余篇。

（节选自《珠光湖韵》第三集）